核磁共振波譜儀字濾波器的設

核磁共振波譜儀字濾波器的設
摘要 介紹了最佳一致逼近理論的基本概念及Remez算法，描述了適用于棱磁共振波譜儀 的FIR—DF設計方法及實踐經(jīng)驗一提供丁實驗結(jié)果
近年來 數(shù)字處理技術逐漸被引人核磁共振(NMR)渡譜實驗技術中，取得了可喜的成果． 圖1是我們在NMR波譜儀中增加數(shù)字濾波器(DF)之后所傲試驗得到的實際譜圖，可見DF 在完成指定的功能(低通，帶通等)時．其結(jié)果是令人滿意的，即過渡帶十分陡峭．實驗與分析表 明、在NMR實驗中增加DF具有如下優(yōu)勢：1)消除了譜圖的折疊現(xiàn)象，從而抑制了偽峰的產(chǎn) 生．這是模擬濾波器所無法辦到的；2)在整個頻率范圍內(nèi)都保持線性相移．從而消減了基線波 動；3)平坦的幅頻特性，既避免了譜圖邊緣峰的遺褥一又為精確的譜圖積分提供了先決條件；4) 結(jié)合高速(例如，16倍奈奎斯特頻率)采樣，數(shù)據(jù)抽取技術，即能以高信噪比處理小譜峰．綜上 所述．以數(shù)字濾波技術取代傳統(tǒng)的模擬濾波技術，將使NMR實驗技術的發(fā)展躍上一個新的臺 階．本文擬論述NMR DF的設計原理與應用．

數(shù)字濾波器可分為無限沖激響應(IIR)和有限沖激響應(FIR)兩類．FIR DF具有如下特 點：1)滿足指定的設計指標所要的階數(shù)較低；2)具有嚴格的線性相位特性；3)宜采用非遞歸結(jié) 構，因而有限精度的運算穩(wěn)定且誤差較�。�4)可直接采用快速付立葉變換(FFT)；5)設計靈活． 適應面廣(除可做多通帶濾波器之外，還可做差分器和希爾伯特變換器)．因此，盡管FIR—DF 的設計無法借助現(xiàn)有的模擬濾波器設計公式，筆者仍主張采用FIR—DF，因為其不足之處可以 由計算機輔助設計技術加以彌補．
眾所周知，一個理想的濾波器應當具有的特性是： 即要求：1)幅頻特性，在通帶內(nèi)的相對衰減為1，在阻帶內(nèi)的相對衰為0，且平坦．2)相頻特性為 線性．3)通帶邊緣 與阻帶邊緣 相重合．例如一個理想的低通濾波器應具有圖2實線所 示的特性．如上所述，F(xiàn)IR DF固有線性相位特性，但幅頻特性則與其它濾波器一樣·表現(xiàn)為一 定的波動(通帶在士 內(nèi)波動，阻帶在士 內(nèi)波動)．另外，不可能實現(xiàn) = ．即存在 一定的過渡帶 一I 一 I，如圖2中虛 線所示． 因此，F(xiàn)IR—DF的設計目標就是獲得一 個參數(shù)集，以保證波動值處于指定的范圍 內(nèi)(即波動≤ ± )，而過渡帶滿足指定的 和 值．
一個能實現(xiàn)這一目標的設計方法 是“一致逼近法”(也稱等紋波逼近法)．其 涵義不難從圖2得到說明，即在指定的通 帶(或／和阻帶)內(nèi)其幅度的波動可能形成 多個極值點(極大或極小)．然而波動的幅 度 都是相等的(注意．一一般地 ≠ ：)，習 慣上稱波動值為偏差． 一致逼近法的理論基礎是“切比雪夫 最佳一致逼近定理”．這個定理的基本意思 是：對于給定的閉區(qū)間 ．6]上的連續(xù)函數(shù) ，( )．在所有m 階多項式的集合 ．尋找 一個多項式 ( )使它在 ，陽上對于，(z) 的最大偏差和其它屬于 的多項式戶(z) 對于，( )的最大偏差相比是最小的，即 I (z)一，(z)I — rain{maxI ( )一f(z)j) (2) 口≤ ^ 該理論指出，這樣一個多項式戶(z)是存在 的，且是唯一的．構造戶(z)的方法就是有名 的“交錯點組定理”．該定理是：設，(z)是 定義在_d．陽上的連續(xù)函數(shù)， (z)為多項式 集合 中一個階次不超過 的多項式， 并令 一max I (z)-f(x)I 1 ) (3a) (z)一Ip(x)一f )f J a)沒有施加濾波b)帶通濾渡c)低通濾波 Fig．1 NM R spectrum 則戶( )是，(z)的最佳一致逼近的充要件是戶(z)在[ ．6]上至少存在(m-2)個交錯點構成的 集合{z }．使得 一± ’ — 。’⋯ +。 l (3b) 3 (x )一一 (薯+1)， 一】，2，⋯ ， +2』 這個( +2)個點即是交錯點組． ( )為偏差函數(shù)．式(3)的涵義是明確的．即： ． 。．·-- +。．都 是偏差函數(shù) ( )的極值點(極大或極小)，它們對， )都具有最大的偏差，且其偏差值都等于 以，其它各處( 在{z ))的偏差都小于靠；而 )的各項系數(shù)可以由交錯點組對應的極值組確 定．

數(shù)字信號處理理論表明：1)濾波器的系統(tǒng)特性． 由其單位沖激響應h(n)充分體現(xiàn)；2)h(n)在z平面 單位圓上的z變換H( )就是濾波器的頻率響應特 性．顯然，濾波器的設計是在頻率域上進行的，關鍵 在于根據(jù)設定的指標，在頻率域上求解 ( )．而 后，對H(d )進行反z變換，求得序列h( )． 對于長度為N 的序列^ )，其z變換為 H( )一Σ^(n)P一一 (4) 圖2濾波器特性 簡寫為：以H( )代替通常的H( )形式．對于NMR Fig·2 Filter specifie[ty 實驗，F(xiàn)IR～DF宜選�、� 為奇數(shù)；且選取h( )為偶對稱+即h(一)一h(Ⅳ 一】 )，稍加演算，即 可將式(4)寫成 ( )-C- Σ 口 )cos( ) (5) n一0 f^( )， 一。 舯 ⋯ ⋯ ⋯ ，丁N 1 (6a) 一 亦即^( ) 1 ( ～ ) 卜 _ _～ ，H”—一oO， 1， - t／_ 1)一 ， 式(5)中的相移 ( )：一( ) 一一K 就是線性相位特性；其幅頻特性則為 H( )：Σn )cos(noJ) (7) 通過式(3)，可以把式(1)和式(7)聯(lián)系起來：1)以H ( )代替， )；2)以H(∞)代替； )； 3)以 代替z，在數(shù)字信號處理領域中， 稱為數(shù)字角頻率，它的取值范圍由0到 ( 到2 與 其對稱)，且構成閉區(qū)間[0， ]．于是有 一n1ax IH ( )一H ( )ll j (8) ( )一H ( ) (∞) ．I 式中下標F-[o， ]．針對圖2的具體情況，且注意到通常n≠ ：，命 ( )：j{，通帶內(nèi) 一蓑 (9) 1，阻帶內(nèi) 則式(8)可寫成 8(oJ)一Ⅳ )IH ( )一H (∞)1 (10) ㈨ 聊 對 ” 一 將交錯點組定理應用到式(10)，就是說：H( )在區(qū)間 ’上對H ( )唯一最佳一致逼近舶 充要條件是偏差函數(shù) (m)在 、上至少呈現(xiàn)(M+2)個交錯點．
構成頻率點的集合{ ’．使得 l ( )l— r + )r一 如一max J f )J F 如果已知在F上的集合 }中這( 一2)個頻率點，則由式(1 0)有 W ( )E-h’ ( )一H ( ) =(一】) 代人 ( )則是(注意，求和上限的M一竺 ) ( ) ( )～ 2J口(n)cosO )]= 【一1) 以 l1 式(11)是一個r 1。2)×f +2)的矩陣 l cos(~、) cos(~：) _ ● ● cos(~M) c0s(w~十 ， ) cos(2w ) - c∞(2 ee ) ● ● _ c0s(2 M) cos(2 M+】) COS(Mo,。) cos(M eo J) cos(Mw!) cos(M Ⅵ1 cos(朋 1) 1／W(o~ ) 1／w( ) 1／w ( 1) ／W (％D ) ( +J) 解此方程組，可以唯一地求得系數(shù)n(o)，a(1)，⋯ ， ( )及 ．因此得到最佳濾波器的頻率響應 (幅頻特性)H(m)．然而這僅是數(shù)學上的認識，當M 稍大一點．解這個方程談何容易．為此Mc． Clallan等人EzJ利用數(shù)值分析中的Remez算法，靠一次一次迭代求得一組交錯點組，而且每一 次迭代過程中避免求解式(12)．Remez算法可歸納如下： 1)在頻率集F上等間隔地取( +2)個頻率點foot,． ， ． 測位置，然后計算 + L — 1 一0n譯 t cOS％— C而OSm~ j + Σ a(k)tt ( ) = — — Σ(-1) ( )／ ( ) 叫 一 做為交錯點組的初始猜 (1 3a) (10b) ^ 0 即是此次猜測的交錯點組集合{ }形成的偏差，它本質(zhì)上就是圖2中的島．得到8 后．根據(jù) 重心形式的拉格朗日插值公式求 一H ( )一(- 1) ． 一。，1，⋯ ，M (13c) 超’~ a(k )7 gz 0 s 一cos (1 3(1) 然后，依次檢查 ㈤ ㈤ ∞ ” " 甜 ～ { ( ))中的每一個元素是否滿足(Id( )t≤ t t)．若滿足，此次猜測韻頻率交錯點組{ }就 是最佳一致逼近交錯點組，計算可告結(jié)束．但是，一般需要進行多次迭代，即轉(zhuǎn)入下．步． 圈3 Remez算法流程圈 Fig．3 Remez algorithm flowchart Ⅳ ， ，¨ ， ·(∞)， (m) 技木參嘲I人 工 在[O， 上分格點 ~l× I6 I 試探 +】十撮值氨 算法 ． 1 得到 (∞) 計算^(-) 上 jI出 ，赴，^(^) 圈4 最佳一致逼近計算流程囝 Fig 4 O U．A calculate flowchart 3)對此次猜測的{ )中每一個元素q，在其 甜近依式(13d)計算 ( )，搜索是否有f ( )f> 的頻率點 ，．若有則以 ，迭代 ．如此構成⋯ 個新的頻率點集合{ 。)取代{ ) 再返回計算 (】)、(2)以至(3)，直到滿足Ia( )j≤ j以I才結(jié)柬 計算．即可得到 =d 和H )的最佳一致逼近 系數(shù),if／(0)，口(1)，d(2)．⋯ ，n( )．然后．根據(jù)式(6 b)計算出^(0)，^(1)．⋯ ⋯，h(Ⅳ一1)序列則完成 了反z變換(注：在循環(huán)迭代中d 將增加)． 圖3為Remez算法流程圖．運行Remez程序時，為保證 )是對 ( )的最佳一致逼 近，誤差函數(shù)8( )必須呈現(xiàn)肘+2個“交錯”，即d( )至少有( +2)個極值，且交替改變符號． 式(105中由于Ⅳ( )和H ( )都是常數(shù)，所以 ( )的極值就是H( )的極值．由于式(7)是～ 余弦函數(shù)．對其微分則為“一sin( ”．可見，在 一0和OA= 處必為極大值或極小值，因此．在 區(qū)間 o， ]上，H( )至多有(肘+1j個極值．圖2中虛線相應于N一1 3( 一6)的情況． 圖4是計算最佳一致逼近的計算機程序流程圖．程序的輸人參數(shù)是：^(”)序列的長度Ⅳ ； 通帶邊緣頻率 ；阻帶邊頻 ；以及H (。)和W( )特性(均由專門的子程序輸入)頻帶的(遙、 阻)數(shù)目可以選擇(一般限制在10以內(nèi))．頻率軸。的均勻分隔點數(shù)也是可選擇的(可約定為 16)．由于是以歸一 化為1的頻率采樣，所以 的數(shù)值域 O． ]對應于[O．0．5]．N 的最大值～ 般限定在128以內(nèi)．程序的輸出是a-、赴 ^( )． 由于 是由程序運行之后得出的，所以當 它們不能達到指定的偏差值時．可增加 的 輸人值以提高度計算精度．由圖2可以看出， 過渡帶的寬度4 大致為半個板值交錯點閫的 寬度，所以，當M (一 )較大時．邊緣是十 分陡峭的．

圖5是筆者利用一個8 Hz的點阻FIR DF濾去某樣品中的水溶劑峰之后所得到的實 際NMR譜圖．由圖可見．基本上消除了基線 漂移，使譜圖更為精細．筆者的經(jīng)驗表明，宜采 用高、低通組合的方式實現(xiàn)點阻濾波+否剮將 由于過渡帶的存在而難 實現(xiàn)窄帶的點阻濾 波器． 實驗中運行的程序是用C++語言編寫 的．順便指出，文獻[2]給出的程序?qū)嶋H上還可 以運行差分器和希爾伯特變換器的設計程序．